torch.linalg.qr¶

torch.linalg.qr(A, mode='reduced', *, out=None)¶

計算矩陣的 QR 分解。

設 $\mathbb{K}$ 為 $\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$ ，矩陣 $A \in \mathbb{K}^{m \times n}$ 的 完整 QR 分解 定義為

A = QR\mathrlap{\qquad Q \in \mathbb{K}^{m \times m}, R \in \mathbb{K}^{m \times n}}

其中 $Q$ 在實數情況下是正交矩陣，在複數情況下是酉矩陣，而 $R$ 是上三角矩陣，其對角線元素是實數（即使在複數情況下）。

當 m > n（高矩陣）時，由於 R 是上三角矩陣，其最後 m - n 行是零。在這種情況下，我們可以捨棄 Q 的最後 m - n 列，形成 簡化 QR 分解

A = QR\mathrlap{\qquad Q \in \mathbb{K}^{m \times n}, R \in \mathbb{K}^{n \times n}}

當 n >= m（寬矩陣）時，簡化 QR 分解與完整 QR 分解一致。

支援 float、double、cfloat 和 cdouble 資料型別的輸入。也支援矩陣的批次輸入，如果 A 是矩陣的批次，則輸出具有相同的批次維度。

引數 mode 用於選擇完整 QR 分解或簡化 QR 分解。如果 A 的形狀是 (*, m, n)，其中 * 表示零個或多個批次維度，記 k = min(m, n)

mode= ‘reduced’（預設）：分別返回形狀為 (*, m, k) 和 (*, k, n) 的 (Q, R)。它始終可導。
mode= ‘complete’：分別返回形狀為 (*, m, m) 和 (*, m, n) 的 (Q, R)。當 m <= n 時可導。
mode= ‘r’：只計算簡化的 R。返回 (Q, R)，其中 Q 為空張量，R 的形狀為 (*, k, n)。它永遠不可導。

與 numpy.linalg.qr 的區別

mode= ‘raw’ 尚未實現。
與 numpy.linalg.qr 不同，此函式總是返回兩個張量的元組。當 mode= ‘r’ 時，Q 張量為空張量。

警告

R 的對角線元素不一定是正數。因此，返回的 QR 分解在 R 的對角線符號方面不唯一。不同的平臺（例如 NumPy）或不同裝置上的輸入可能會產生不同的有效分解。

警告

只有當 A 中每個矩陣的前 k = min(m, n) 列線性獨立時，QR 分解才是良好定義的。如果此條件不滿足，將不會丟擲錯誤，但生成的 QR 可能不正確，並且其自動微分（autodiff）可能會失敗或產生錯誤結果。

引數

A (Tensor) – 形狀為 (*, m, n) 的張量，其中 * 表示零個或多個批次維度。
mode (str, 可選) – ‘reduced’、‘complete’ 或 ‘r’ 之一。控制返回張量的形狀。預設值：‘reduced’。

關鍵字引數

out (tuple, 可選) – 包含兩個張量的輸出元組。如果為 None 則忽略。預設值：None。

返回

命名元組 (Q, R)。

示例

>>> A = torch.tensor([[12., -51, 4], [6, 167, -68], [-4, 24, -41]])
>>> Q, R = torch.linalg.qr(A)
>>> Q
tensor([[-0.8571,  0.3943,  0.3314],
        [-0.4286, -0.9029, -0.0343],
        [ 0.2857, -0.1714,  0.9429]])
>>> R
tensor([[ -14.0000,  -21.0000,   14.0000],
        [   0.0000, -175.0000,   70.0000],
        [   0.0000,    0.0000,  -35.0000]])
>>> (Q @ R).round()
tensor([[  12.,  -51.,    4.],
        [   6.,  167.,  -68.],
        [  -4.,   24.,  -41.]])
>>> (Q.T @ Q).round()
tensor([[ 1.,  0.,  0.],
        [ 0.,  1., -0.],
        [ 0., -0.,  1.]])
>>> Q2, R2 = torch.linalg.qr(A, mode='r')
>>> Q2
tensor([])
>>> torch.equal(R, R2)
True
>>> A = torch.randn(3, 4, 5)
>>> Q, R = torch.linalg.qr(A, mode='complete')
>>> torch.dist(Q @ R, A)
tensor(1.6099e-06)
>>> torch.dist(Q.mT @ Q, torch.eye(4))
tensor(6.2158e-07)

torch.linalg.qr¶

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