torch.linalg.eigh¶

torch.linalg.eigh(A, UPLO='L', *, out=None)¶

計算複數 Hermitian 矩陣或實數對稱矩陣的特徵值分解。

設 $\mathbb{K}$ 為 $\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$ ，複數 Hermitian 矩陣或實數對稱矩陣 $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ 的**特徵值分解**定義為

A = Q \operatorname{diag}(\Lambda) Q^{\text{H}}\mathrlap{\qquad Q \in \mathbb{K}^{n \times n}, \Lambda \in \mathbb{R}^n}

其中當 $Q$ 是複數時 $Q^{\text{H}}$ 是共軛轉置，當 $Q$ 是實數時是轉置。在實數情況下 $Q$ 是正交的，在複數情況下是酉矩陣。

支援 float、double、cfloat 和 cdouble 資料型別的輸入。也支援批次矩陣輸入，如果 A 是一批矩陣，則輸出具有相同的批次維度。

假設 A 是 Hermitian (或對稱) 矩陣，但這在內部不進行檢查，而是

如果 UPLO= ‘L’ (預設值)，計算中僅使用矩陣的下三角部分。
如果 UPLO= ‘U’，僅使用矩陣的上三角部分。

特徵值以升序返回。

注意

當輸入在 CUDA 裝置上時，此函式會將該裝置與 CPU 同步。

注意

實對稱矩陣或複數 Hermitian 矩陣的特徵值始終是實數。

警告

對稱矩陣的特徵向量不是唯一的，並且相對於 A 也不是連續的。由於缺乏唯一性，不同的硬體和軟體可能會計算出不同的特徵向量。

這種非唯一性是因為在實數情況下將特徵向量乘以 -1，或在複數情況下乘以 $e^{i \phi}, \phi \in \mathbb{R}$ ，都會產生另一組有效的矩陣特徵向量。因此，損失函式不應依賴於特徵向量的相位，因為這個量沒有明確定義。計算此函式梯度時會檢查複數輸入。因此，當輸入是複數且在 CUDA 裝置上時，計算此函式梯度會將該裝置與 CPU 同步。

警告

使用 eigenvectors 張量計算的梯度僅在 A 具有不同特徵值時是有限的。此外，如果任意兩個特徵值之間的距離接近零，梯度將是數值不穩定的，因為它依賴於特徵值 $\lambda_i$ ，透過計算 $\frac{1}{\min_{i \neq j} \lambda_i - \lambda_j}$ 得到。

警告

如果在 CUDA 版本早於 12.1 update 1 的 CUDA 裝置上對大的病態矩陣輸入執行 eigh，使用者可能會遇到 PyTorch 崩潰。更多詳情請參閱線性代數數值穩定性。如果出現這種情況，使用者可以 (1) 調整矩陣輸入使其病態性降低，或者 (2) 使用 torch.backends.cuda.preferred_linalg_library() 嘗試其他支援的後端。

另請參見

torch.linalg.eigvalsh() 僅計算 Hermitian 矩陣的特徵值。與 torch.linalg.eigh() 不同，eigvalsh() 的梯度始終是數值穩定的。

對於 Hermitian 矩陣的不同分解，可使用 torch.linalg.cholesky()。Cholesky 分解提供的矩陣資訊較少，但計算速度比特徵值分解快得多。

對於不一定是 Hermitian 的方陣的特徵值分解，可使用（較慢的）函式 torch.linalg.eig()。

對於任意形狀矩陣的更通用的 SVD 分解，可使用（較慢的）函式 torch.linalg.svd()。

對於適用於一般矩陣的另一種（快得多的）分解，可使用 torch.linalg.qr()。

引數

A (張量) – 形狀為 (*, n, n) 的張量，其中 * 表示零個或多個批次維度，包含對稱矩陣或 Hermitian 矩陣。
UPLO ('L', 'U', 可選) – 控制計算中使用 A 的上三角或下三角部分。預設值：‘L’。

關鍵字引數

out (元組, 可選) – 由兩個張量組成的輸出元組。如果為 None 則忽略。預設值：None。

返回

一個命名元組 (eigenvalues, eigenvectors)，對應於上面提到的 $\Lambda$ 和 $Q$ 。

eigenvalues 將始終是實數，即使 A 是複數。它也將以升序排列。

eigenvectors 將具有與 A 相同的資料型別，並且其列包含特徵向量。

示例：

>>> A = torch.randn(2, 2, dtype=torch.complex128)
>>> A = A + A.T.conj()  # creates a Hermitian matrix
>>> A
tensor([[2.9228+0.0000j, 0.2029-0.0862j],
        [0.2029+0.0862j, 0.3464+0.0000j]], dtype=torch.complex128)
>>> L, Q = torch.linalg.eigh(A)
>>> L
tensor([0.3277, 2.9415], dtype=torch.float64)
>>> Q
tensor([[-0.0846+-0.0000j, -0.9964+0.0000j],
        [ 0.9170+0.3898j, -0.0779-0.0331j]], dtype=torch.complex128)
>>> torch.dist(Q @ torch.diag(L.cdouble()) @ Q.T.conj(), A)
tensor(6.1062e-16, dtype=torch.float64)

>>> A = torch.randn(3, 2, 2, dtype=torch.float64)
>>> A = A + A.mT  # creates a batch of symmetric matrices
>>> L, Q = torch.linalg.eigh(A)
>>> torch.dist(Q @ torch.diag_embed(L) @ Q.mH, A)
tensor(1.5423e-15, dtype=torch.float64)

torch.linalg.eigh¶

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