注意
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神經切線核¶
建立時間：2023 年 3 月 15 日 | 最後更新：2023 年 6 月 16 日 | 最後驗證：未驗證
神經切線核 (NTK) 是一種核，它描述了神經網路在訓練期間如何演變。 近年來圍繞它進行了大量研究。本教程受 JAX 中 NTK 實現的啟發（詳見 《快速有限寬度神經切線核》），演示瞭如何使用 PyTorch 的可組合函式變換 torch.func 輕鬆計算此量。
注意
本教程需要 PyTorch 2.0.0 或更高版本。
設定¶
首先，進行一些設定。讓我們定義一個簡單的 CNN，我們希望計算其 NTK。
import torch
import torch.nn as nn
from torch.func import functional_call, vmap, vjp, jvp, jacrev
device = 'cuda' if torch.cuda.device_count() > 0 else 'cpu'
class CNN(nn.Module):
def __init__(self):
super(CNN, self).__init__()
self.conv1 = nn.Conv2d(3, 32, (3, 3))
self.conv2 = nn.Conv2d(32, 32, (3, 3))
self.conv3 = nn.Conv2d(32, 32, (3, 3))
self.fc = nn.Linear(21632, 10)
def forward(self, x):
x = self.conv1(x)
x = x.relu()
x = self.conv2(x)
x = x.relu()
x = self.conv3(x)
x = x.flatten(1)
x = self.fc(x)
return x
並生成一些隨機資料
x_train = torch.randn(20, 3, 32, 32, device=device)
x_test = torch.randn(5, 3, 32, 32, device=device)
建立模型的函式版本¶
torch.func 變換作用於函式。特別是，為了計算 NTK，我們需要一個函式，該函式接受模型的引數和單個輸入（而不是一批輸入！），並返回單個輸出。
我們將使用 torch.func.functional_call，它允許我們使用不同的引數/緩衝區呼叫 nn.Module，以幫助完成第一步。
請記住，模型最初被編寫為接受一批輸入資料點。在我們的 CNN 示例中，沒有批間操作。也就是說，批次中的每個資料點都與其他資料點獨立。考慮到這個假設，我們可以輕鬆生成一個函式，用於評估模型在單個數據點上的結果
net = CNN().to(device)
# Detaching the parameters because we won't be calling Tensor.backward().
params = {k: v.detach() for k, v in net.named_parameters()}
def fnet_single(params, x):
return functional_call(net, params, (x.unsqueeze(0),)).squeeze(0)
計算 NTK：方法 1（雅可比收縮）¶
我們準備計算經驗 NTK。兩個資料點 \(x_1\) 和 \(x_2\) 的經驗 NTK 定義為模型在 \(x_1\) 處評估的雅可比矩陣與模型在 \(x_2\) 處評估的雅可比矩陣之間的乘積
在批次處理的情況下，如果 \(x_1\) 是一批資料點，\(x_2\) 是一批資料點，則我們需要計算來自 \(x_1\) 和 \(x_2\) 的所有資料點組合的雅可比矩陣之間的乘積。
第一種方法就是這樣做——計算兩個雅可比矩陣，然後將它們收縮。以下是在批次處理情況下計算 NTK 的方法
def empirical_ntk_jacobian_contraction(fnet_single, params, x1, x2):
# Compute J(x1)
jac1 = vmap(jacrev(fnet_single), (None, 0))(params, x1)
jac1 = jac1.values()
jac1 = [j.flatten(2) for j in jac1]
# Compute J(x2)
jac2 = vmap(jacrev(fnet_single), (None, 0))(params, x2)
jac2 = jac2.values()
jac2 = [j.flatten(2) for j in jac2]
# Compute J(x1) @ J(x2).T
result = torch.stack([torch.einsum('Naf,Mbf->NMab', j1, j2) for j1, j2 in zip(jac1, jac2)])
result = result.sum(0)
return result
result = empirical_ntk_jacobian_contraction(fnet_single, params, x_train, x_test)
print(result.shape)
torch.Size([20, 5, 10, 10])
在某些情況下，你可能只需要此量的對角線或跡，特別是如果你事先知道網路架構會導致 NTK 的非對角元素可以近似為零。很容易調整上面的函式來實現這一點
def empirical_ntk_jacobian_contraction(fnet_single, params, x1, x2, compute='full'):
# Compute J(x1)
jac1 = vmap(jacrev(fnet_single), (None, 0))(params, x1)
jac1 = jac1.values()
jac1 = [j.flatten(2) for j in jac1]
# Compute J(x2)
jac2 = vmap(jacrev(fnet_single), (None, 0))(params, x2)
jac2 = jac2.values()
jac2 = [j.flatten(2) for j in jac2]
# Compute J(x1) @ J(x2).T
einsum_expr = None
if compute == 'full':
einsum_expr = 'Naf,Mbf->NMab'
elif compute == 'trace':
einsum_expr = 'Naf,Maf->NM'
elif compute == 'diagonal':
einsum_expr = 'Naf,Maf->NMa'
else:
assert False
result = torch.stack([torch.einsum(einsum_expr, j1, j2) for j1, j2 in zip(jac1, jac2)])
result = result.sum(0)
return result
result = empirical_ntk_jacobian_contraction(fnet_single, params, x_train, x_test, 'trace')
print(result.shape)
torch.Size([20, 5])
此方法的漸近時間複雜度為 \(N O [FP]\)（計算雅可比矩陣的時間）+ \(N^2 O^2 P\)（收縮雅可比矩陣的時間），其中 \(N\) 是 \(x_1\) 和 \(x_2\) 的批次大小，\(O\) 是模型的輸出大小，\(P\) 是總引數數量，\([FP]\) 是模型單次前向傳播的成本。詳情請參閱 《快速有限寬度神經切線核》 的第 3.2 節。
計算 NTK：方法 2（NTK-向量積）¶
我們將討論的下一種方法是使用 NTK-向量積計算 NTK 的方法。
此方法將 NTK 重新表述為應用於單位矩陣 \(I_O\)（大小為 \(O\times O\)，其中 \(O\) 是模型的輸出大小）列向量的一系列 NTK-向量積。
其中 \(e_o\in \mathbb{R}^O\) 是單位矩陣 \(I_O\) 的列向量。
令 \(\textrm{vjp}_o = J_{net}^T(x_2) e_o\)。我們可以使用向量-雅可比積來計算此值。
現在，考慮 \(J_{net}(x_1) \textrm{vjp}_o\)。這是一個雅可比-向量積！
最後，我們可以使用
vmap在單位矩陣 \(I_O\) 的所有列向量 \(e_o\) 上並行執行上述計算。
這表明我們可以結合使用反向模式 AD（用於計算向量-雅可比積）和前向模式 AD（用於計算雅可比-向量積）來計算 NTK。
讓我們編寫程式碼實現它
def empirical_ntk_ntk_vps(func, params, x1, x2, compute='full'):
def get_ntk(x1, x2):
def func_x1(params):
return func(params, x1)
def func_x2(params):
return func(params, x2)
output, vjp_fn = vjp(func_x1, params)
def get_ntk_slice(vec):
# This computes ``vec @ J(x2).T``
# `vec` is some unit vector (a single slice of the Identity matrix)
vjps = vjp_fn(vec)
# This computes ``J(X1) @ vjps``
_, jvps = jvp(func_x2, (params,), vjps)
return jvps
# Here's our identity matrix
basis = torch.eye(output.numel(), dtype=output.dtype, device=output.device).view(output.numel(), -1)
return vmap(get_ntk_slice)(basis)
# ``get_ntk(x1, x2)`` computes the NTK for a single data point x1, x2
# Since the x1, x2 inputs to ``empirical_ntk_ntk_vps`` are batched,
# we actually wish to compute the NTK between every pair of data points
# between {x1} and {x2}. That's what the ``vmaps`` here do.
result = vmap(vmap(get_ntk, (None, 0)), (0, None))(x1, x2)
if compute == 'full':
return result
if compute == 'trace':
return torch.einsum('NMKK->NM', result)
if compute == 'diagonal':
return torch.einsum('NMKK->NMK', result)
# Disable TensorFloat-32 for convolutions on Ampere+ GPUs to sacrifice performance in favor of accuracy
with torch.backends.cudnn.flags(allow_tf32=False):
result_from_jacobian_contraction = empirical_ntk_jacobian_contraction(fnet_single, params, x_test, x_train)
result_from_ntk_vps = empirical_ntk_ntk_vps(fnet_single, params, x_test, x_train)
assert torch.allclose(result_from_jacobian_contraction, result_from_ntk_vps, atol=1e-5)
我們用於 empirical_ntk_ntk_vps 的程式碼看起來像是上面數學公式的直接翻譯！這展示了函式變換的力量：如果你只使用 torch.autograd.grad 來編寫上述高效版本，會非常困難。
此方法的漸近時間複雜度為 \(N^2 O [FP]\)，其中 \(N\) 是 \(x_1\) 和 \(x_2\) 的批次大小，\(O\) 是模型的輸出大小，\([FP]\) 是模型單次前向傳播的成本。因此，此方法執行的前向傳播次數比方法 1（雅可比收縮）更多（\(N^2 O\) 次而不是 \(N O\) 次），但完全避免了收縮成本（沒有 \(N^2 O^2 P\) 項，其中 \(P\) 是模型的總引數數量）。因此，當 \(O P\) 相對於 \([FP]\) 較大時，例如具有許多輸出 \(O\) 的全連線（非卷積）模型，此方法更可取。在記憶體方面，兩種方法應該相當。詳情請參閱 《快速有限寬度神經切線核》 的第 3.3 節。
指令碼總執行時間： ( 0 分鐘 0.375 秒)
